Коэффициент устойчивости

Рассмотрены показатели, определяющие коэффициент устойчивости: момент устойчивости тела и опрокидывающий момент. Приведены примеры расчета коэффициента устойчивости для оценки степени устойчивости равновесия твердого тела и тела человека.

Коэффициент устойчивости — показатель статической устойчивости равновесия тела

В предыдущей записи было указано, что площадь опоры и высота расположения ОЦМ тела над опорой достаточно хорошо характеризуют степень устойчивости равновесия тела человека. Однако при одних и тех же значениях площади опоры и высоты расположения ОЦМ тела человека над опорой, степень устойчивости равновесия в различных плоскостях может сильно различаться. Поэтому для оценки степени устойчивости равновесия твердого тела и тела человека в различных плоскостях предложены  два показателя: коэффициент устойчивости и угол устойчивости.

Статическая устойчивость равновесия твердого тела

Коэффициент устойчивости служит показателем статической устойчивости равновесия тела – то есть способности тела сопротивляться нарушению равновесия. Если к телу приложена сила (F_опр), которая стремится опрокинуть тело, повернув его относительно оси вращения (рис. 1), то коэффициент устойчивости вычисляется следующим образом:

K_уст= M_уст/ М_опр                          (1),

где: M_уст — момент устойчивости тела  относительно оси вращения; М_опр – опрокидывающий момент относительно оси вращения.

Следует заметить, что момент устойчивости  тела (момент силы тяжести) и опрокидывающий момент представляют собой моменты силы относительно оси вращения. Для того, чтобы тело сохраняло равновесное состояние при воздействии на него внешней опрокидывающей силы (F_опр) необходимо, чтобы момент устойчивости тела (M_уст) был больше  опрокидывающего момента (М_опр) или равен ему. Другими словами, для сохранения положения устойчивого равновесия тела, коэффициент устойчивости должен быть больше или равен единице:

K_уст = M_уст/ М _опр ≥ 1            (2).

Рассмотрим факторы, влияющие на момент устойчивости тела и опрокидывающий момент.

Момент устойчивости тела

Момент устойчивости тела (момент силы тяжести) (M_уст) относительно оси (рис.1), равен произведению силы тяжести (F_тяж) на плечо силы тяжести (h_тяж), то есть:

M_уст=F_тяжh_тяж                        (3).

Численное значение силы тяжести будет тем больше, чем больше масса тела (F_тяж= mg), где m – масса тела, g – ускорение свободного падения тела, равное 9,8 м/c², следовательно, момент устойчивости тела будет тем больше, чем больше масса тела. Из повседневного опыта нам известно, что опрокинуть тяжелый предмет сложнее, тем легкий.

Вторым показателем, влияющим на момент устойчивости тела, является плечо силы тяжести. Плечо силы тяжести (h_тяж) зависит от размеров и положения тела относительно оси вращения. При одной и той же массе тело, имеющее большие линейные размеры, будет обладать большим моментом устойчивости, по сравнению с телом, имеющим меньшие линейные размеры. Это связано с тем, что у тела, имеющего большие линейные размеры  плечо силы тяжести (h_тяж) относительно оси вращения будет больше. Также значение плеча силы тяжести зависит от положения тела в плоскости вращения. У тела, расположенного на своей большей грани (рис2а), плечо силы тяжести больше, чем у того же тела (рис 2б), расположенного на своей меньшей грани. Следовательно, в случае, изображенном на рис. 2а момент устойчивости тела относительно оси вращения будет больше, чем в случае, изображенном на рис. 2б. Теперь рассмотрим факторы, влияющие на опрокидывающий момент.

Опрокидывающий момент

Опрокидывающий момент (М_опр) относительно оси вращения (рис.1) равен произведению опрокидывающей силы (F_опр) на плечо опрокидывающей силы (h_опр) относительно оси вращения, то есть:

M_опр=F_опрh_опр                        (4).

Опрокидывающий момент (M_опр) зависит от численного значения (модуля) опрокидывающей силы (F_опр), чем больше ее значение, тем больше опрокидывающий момент. Плечо опрокидывающей силы зависит от точки приложения силы и ее направления. Чем ближе к оси вращения будет проходить линия действия опрокидывающей силы, тем меньше будет ее плечо. Если линия действия опрокидывающей силы проходит через ось вращения (рис.3), опрокидывающий момент будет равен нулю, так как плечо опрокидывающей силы равно нулю.

Пример 1

Определить коэффициент устойчивости, если к нему приложена опрокидывающая сила F_опр = 1000Н; плечо опрокидывающей силы равно h_опр =1,5 м. Масса тела m=200 кг. Плечо силы тяжести равно h_тяж = 0,5 м (рис.1).

Решение

1. Определяем момент устойчивости тела относительно оси вращения:

M_уст=F_тяж*h_тяж=mg_*h_тяж=200_*9,8_*0,5=980 Нм.

2. Определяем опрокидывающий момент относительно оси вращения:

M_опр=F_опр*h_опр=1000_*1,5=1500 Нм.

3. Определяем коэффициент устойчивости.

K_уст= M_уст/ М _опр= 980/1500=0,653

Так как коэффициент устойчивости меньше единицы, тело опрокинется.

Статическая устойчивость равновесия тела человека

Все вычисления, связанные с устойчивостью тела, усложняются, когда речь идет не о геометрически правильном твердом теле, а о теле человека. У человека стопы ног не имеют правильной формы, они не абсолютно жесткие и при опрокидывании тела деформируются. В доказательство этого утверждения В.А.Петров и Ю.А.Гагин (1974) рассмотрели следующий пример (Пример 2).

Пример 2

Определить значение опрокидывающей силы F_опр, при которой человек, находящийся в основной стойке, потеряет устойчивость в сагиттальной плоскости (рис.4). Масса человека: m=70 кг, расстояние от пола до общего центра масс тела человека (ОЦМ) равно значению плеча опрокидывающей силы, то есть: h_опр=0,9 м, длина стопы:  l=0,25 м. Предполагается, что проекция ОЦМ проходит через центр площади опоры, поэтому плечо силы тяжести будет равно: h_тяж=0,5_*l.

Решение. Примем, что тело человека абсолютно жесткое, опрокидывающая сила F_опр приложена к ОЦМ тела человека и направлена горизонтально. Как было показано выше (2) для сохранения положения устойчивого равновесия тела, коэффициент устойчивости должен быть больше или равен единице, то есть M_уст ≥ М_опр. Чтобы определить значение опрокидывающей силы, при которой тело человека потеряет устойчивость, приравняем опрокидывающий  момент моменту устойчивости тела. То есть  М_опр=M_уст  или F_опр*h_{опр =} F_тяж*h_тяж. Это позволяет нам найти значение опрокидывающей силы, при которой тело человека опрокинется.

F_опр = F_тяж*h_тяж /h_опр = (m_*g_*0,5_*l)/h_опр = (70_*9,8_*0,5_*0,25)/0,9 =95,3 H.  Таким образом, если значение опрокидывающей силы (F_опр) будет больше чем 95,3 H — человек потеряет устойчивость.  Однако, как указывают В.А.Петров и Ю.А.Гагин (1974), значение опрокидывающей силы, при которой тело человека потеряет устойчивость значительно меньше и  равно 32 Н, что подтверждается экспериментальными данными. Значительно меньшие значения опрокидывающей силы связаны с особенностями строения опорно-двигательного аппарата человека.

Литература

Петров В.А., Гагин Ю.А., Механика спортивных движений: М.: Физкультура и спорт, 1974.- 232 с.

С уважением, А.В. Самсонова