Закон нормального распределения

Значение для исследований в области ФКиС

Нормальное распределение (гауссово распределение, распределение Гаусса, распределение Гаусса-Лапласа) – одно из непрерывных распределений, имеющее основопологающую роль в математической статистике. Причинами это являются:

  1. Многие эмпирические распределения можно успешно описать с помощью нормального распределения. Это чаще всего происходит в тех случаях, когда на показатель оказывает влияние большое число случайных факторов. При этом действие каждого фактора незначительно. Примерами показателей, которые распределяются по нормальному закону являются: рост, сила мышц, результаты в беге, прыжках, метаниях и др.
  2. Нормальное распределение обладает рядом благоприятных математических свойств, обеспечивших его широкое применение в статистике.
  3. Корректное использование критериев проверки статистических гипотез предполагает знание закона распределения экспериментальных данных. Так, например, использование t – критерия Стьюдента и  F-критерия Фишера требует нормального распределения экспериментальных данных.
  4. Большинство экспериментальных распределений, полученных при исследованиях в области физической культуры и спорта может быть описано с помощью нормального распределения.

Однако в природе и в области ФКиС встречаются экспериментальные распределения, для описания которых модель нормального распределения малопригодна.

История изучения нормального распределения

Абрахам де Муавр (1667– 1754) – английский математик, предложил формулу нормального распределения, описывающую биномиальное распределение с вероятностью 0,5. Эта формула появилась в работе А.Муавра "Доктрина случайностей".

Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) – немецкий математик, проводил исследования в области нормального распределения ошибок. Ввел это распределение как возникающее в результате многократных измерений движений небесных тел.

Пьер-Симон де Лаплас (1749-1827) - французский математик, механик, физик и астроном. П.-С. Лаплас обобщил результаты А. Муавра для произвольного биномиального распределения.

Адольф Кетле (1796-1874) – бельгийский математик, одним из первых применил закон нормального распределения к анализу биологических и социальных процессов.

Формула, описывающая нормальный закон распределения случайной величины, имеет следующий вид:

Закон нормального распределения

где: μ - генеральное среднее арифметическое; σ - генеральное стандартное отклонение.

Свойства нормального распределения

  1. Нормальная кривая имеет колокообразную форму, симметричную относительно точки x, с точками перегиба, абсциссы которых отстоят от µ на ± σ.
  2. Нормальное распределение полностью определятся двумя параметрами: значением генерального среднего (µ) и генерального стандартного отклонения (σ).
  3. Медиана и мода нормального распределения совпадают и равны µ.
  4. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.

Нормированное отклонение

В области математической статистики важное место занимает нормированное отклонение (t) – показатель, представляющий отклонение той или иной варианты от средней величины, отнесенное к значению стандартного отклонения.Нормированное отклонение рассчитывает по формуле:

Закон нормального распределения

Нормированное отклонение позволяет установить, на сколько «сигм» отклоняются варианты от среднего значения. Например, необходимо определить насколько "сигм" отклоняется значение роста 180 см от среднего, если среднее арифметическое равно 170 см, а "сигма", то есть стандартное отклонение равно 10 см.

t= (180-170)/10 = 1.

Ответ: значение роста человека, равное 180 см отклоняется от среднего на одну "сигму".

 

Закон нормального распределения

 

Рис.1. Нормированное нормальное распределение роста мужчин с параметрами: µ=0; σ = 1.

Для нормированного нормального распределения характерно, что в интервал µ± σ попадают 68 % всех результатов, в интервал µ± 2σ попадают 95% всех результатов, в интервал µ± 3σ попадают 99 % всех результатов.

В области физической культуры и спорта эти закономерности используют для разработки системы оценок. Так, В.М.Зациорским (рис. 2) предложено использовать следующую систему оценок результатов. То есть, если результат, показанный спортсменом, попал в интервал от -2σ до -1σ - он получает низкую оценку (Рассчитать, в какой интервал попадает результат можно при помощи нормированного отклонения. Это описано выше). Если результат попал в интервал от -1σ до -0,5σ - оценка ниже средней. Средний результат соответствует интервалу от -0,5σ до -0,5σ, результат, получивший оценку выше среднего - от 0,5 до 1σ. Высокий результат попадает в интервал от 1σ до 2σ.

Закон нормального распределения

Рис.2

Критерии согласия

Чтобы проверить, соответствует ли распределение нормальному закону, существует много методов.

Можно использовать свойства нормального распределения (равенство среднего, моды и медианы).

Однако более точные результаты дают критерии согласия. В зависимости от объема выборки (n) следует использовать различные критерии:

  • если объем выборки небольшой (n = 10) – критерий Шапиро – Уилки;
  • если объем выборки более 40 - критерий хи-квадрат и критерий Колмогорова-Смирнова.
  • в статистическом пакете Statgraphics Centurion существует специальная опция - критерии проверки нормальности распределения. В этой опции есть 4 критерия, посредством которых можно сделать вывод о соответствии эмпирического распределения нормальному закону.

Литература

  1. Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
  2. Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
  3. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.