Критерием согласия называется критерий значимости, применяемый для проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности, из которой взята выборка.

Чаще всего исследователя интересует, соответствует ли распределение экспериментальных данных нормальному закону. Поэтому примеры будут связаны с проверкой экспериментального распределения на нормальность.

  • Критерий Шапиро-Уилки
  • Критерий хи-квадрат
  • Критерий лямбда Колмогорова-Смирнова

КРИТЕРИЙ ШАПИРО-УИЛКИ

Условия применения: выборка небольшого объема

Н0 – распределение генеральной совокупности из которой получена выборка совокупности соответствует нормальному закону.

Н1- распределение генеральной совокупности из которой получена выборка совокупности не соответствует нормальному закону.

Таблица 1 – Алгоритм расчета критерия Шапиро-Уилки.

xxΔkkankankΔk
1234567
111,813,8210,57391,1478
21213,21,220,32910,39492
312,1130,930,21410,19269
412,312,80,540,12240,0612
512,612,6050,03990
612,612,6
712,812,3Сумма=b = 17966
81312,1
913,212
1013,811,8

 Порядок расчета критерия Шапиро-Уилки

  1. Формулируем гипотезу Н0 о соответствии распределения генеральной совокупности, из которой получены данные нормальному закону. Назначаем уровень значимости α=0,05.
  2. Получаем выборку экспериментальных данных (столбец 1 табл.1). В нашем случае n=10.
  3. Рассчитываем значение выборочной дисперсии. Для примера S2=0, 37.
  4. Ранжируем выборку в возрастающем и убывающем порядке (столбцы 2 и 3)
  5. Считаем разности Δk (столбец 5)
  6. Из таблицы 6 Приложения(см. В.С.Иванов, 1990) находим значения коэффициентов ank (столбец 6)
  7. Находим произведение ankΔk
  8. Вычисляем b=сумма ankΔk= 1,7966
  9. Рассчитываем значение критерия Wф по формуле:

Критерии согласия

 

  1. Из табл. 7 Приложения (см. В.С.Иванов, 1990) находим критическое значение критерия Шапиро-Уилки для α=0,05 Wкрит= 0,842.
  2. Вывод. Так как Wф>Wкрит, можно говорить, что экспериментальные данные соответствуют нормальному закону на уровне значимости 0,05.

КРИТЕРИЙ ХИ-КВАДРАТ

Разработан Карлом Пирсоном. Основан на построении интервального вариационного ряда и сравнении эмпирических (nэм) и теоретических (nт) частот (Рис.1).

Критерии согласия

Рис.1. Гистограмма, характеризующая эмпирическое распределение и функция плотности вероятностей нормального распределения.

Статистическая гипотеза: плотность распределения генеральной совокупности, из которой взята выборка, соответствует теоретической модели нормального распределения.

Значение фактического критерия хи-квадрат вычисляется по формуле:

Критерии согласия

Если фактическое значение критерия хи-квадрат больше или равно чем критическое значение критерия хи-квадрат, можно сделать вывод, что эмпирическое распределение не соответствует нормальному закону на уровне значимости α.

КРИТЕРИЙ ЛЯМБДА КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА

Разработан Андреем Николаевичем Колмогоровым и Николаем Васильевичем Смирновым.

Статистическая гипотеза: функция распределения генеральной совокупности (рис. 2 ), из которой взята выборка, соответствует функции распределения нормального закона.

Критерии согласия

Рис.2. Красные точки - кумулята, построенная на основе экспериментальных данных, синяя кривая - теоретическая функция распределения (нормальное распределение).

Значение критерия λф вычисляется по формуле:

Критерии согласия

Вывод: если λф> λкрит – эмпирическое распределение не соответствует нормальному на уровне значимости α.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
  2. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.