Устойчивость равновесия тела, имеющего площадь опоры

Описаны критерии устойчивости равновесия статического положения твердого тела, имеющего площадь опоры: коэффициент устойчивости, углы устойчивости и угол равновесия. Приведены примеры.

Устойчивость равновесия статического положения твердого тела на опоре

Как уже было сказано, в механике различают следующие виды равновесия твердого тела:

• безразличное,
• неустойчивое,
• устойчивое.

Однако это в большей степени касается устойчивости равновесия тела, опирающегося на точку или имеющего ось вращения при малых отклонениях от положения равновесия. В реальной жизни, как правило мы имеем дело с равновесием тела, опирающемся на плоскость и имеющим определенную площадь опоры. Если тело опирается на опору в виде отдельных площадок, то линия, охватывающая все площадки опоры, называется контуром опоры (рис.1). Площадь внутри контура опоры называется площадью опоры (англ. base of  support).

Следует отметить, что вид равновесия определяет условия сохранения положения тела относительно первоначально выбранного положения. Устойчивость определяет меру (степень) сохранения равновесия.

Условие равновесия твердого тела, имеющего площадь опоры

Равновесие твердого тела устойчиво во всех направлениях, если центр масс (ЦМ) тела находится над площадью опоры или проекция ЦМ тела на плоскость будет находиться внутри контура опоры (рис.2а). Другими словами положение равновесия твердого тела устойчиво, если линия действия силы тяжести не выходит за пределы площади опоры. Повернем тело до положения, изображенного на рис. 2б. В этом положении сила тяжести (F_тяж) относительно оси вращения создает положительный момент силы, стремящийся возвратить тело в прежнее положение устойчивого равновесия. Поэтому в этом случае тело находится в положении устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия находится Пизанская башня, так как ее ЦМ не выходит за границы опоры.

Теперь повернем тело относительно оси вращения  до положения, изображенного на рис. 3а таким образом, чтобы линия действия силы тяжести проходила через ось вращения. В этом случае момент силы тяжести будет равен нулю и тело с одинаковой вероятностью может возвратиться как в первоначальное положение, так и упасть на правую грань. В этом случае тело находится в состоянии неустойчивого равновесия. Если мы отклоним тело таким образом, что его ЦМ выйдет за площадь опоры (рис. 3б), сила тяжести будет создавать отрицательный момент, равновесие тела нарушится и тело опрокинется. Таким образом, степень устойчивости равновесия тела зависит от положения его ЦМ и площади опоры.

Чтобы определить, в каком состоянии  находится тело (устойчивом или неустойчивом) нужно оценить момент устойчивости и опрокидывающий момент.

Момент устойчивости

Момент устойчивости (момент силы тяжести)  (M_уст) относительно оси (рис.4), равен произведению силы тяжести (F_тяж) на плечо силы тяжести (h_тяж), то есть:

M_уст=F_тяжh_тяж                        (1).

Численное значение силы тяжести будет тем больше, чем больше масса тела (F_тяж= mg), где m – масса тела, g – ускорение свободного падения тела, равное 9,8 м/c², следовательно, момент устойчивости будет тем больше, чем больше масса тела. Из повседневного опыта нам известно, что опрокинуть тяжелый предмет сложнее, тем легкий.

Вторым показателем, влияющим на момент устойчивости, является плечо силы тяжести. Плечо силы тяжести (h_тяж) зависит от размеров и положения тела относительно оси вращения. При одной и той же массе тело, имеющее большие линейные размеры, будет обладать большим моментом устойчивости, по сравнению с телом, имеющим меньшие линейные размеры. Это связано с тем, что у тела, имеющего большие линейные размеры  плечо силы тяжести (h_тяж) относительно оси вращения будет больше. Также значение плеча силы тяжести зависит от положения тела в плоскости вращения. У тела, расположенного на своей большей грани (рис.5а), плечо силы тяжести больше, чем у того же тела (рис 5б), расположенного на своей меньшей грани.Следовательно, в случае, изображенном на рис. 5.а момент устойчивости относительно оси вращения будет больше, чем в случае, изображенном на рис. 5.б. Теперь рассмотрим факторы, влияющие на опрокидывающий момент.

Опрокидывающий момент

Опрокидывающий момент (М_опр) относительно оси вращения (рис.3) равен произведению опрокидывающей силы (F_опр) на плечо опрокидывающей силы (h_опр) относительно оси вращения, то есть:

M_опр=F_опрh_опр                        (2).

Опрокидывающий момент (M_опр) зависит от численного значения (модуля) опрокидывающей силы (F_опр), чем больше ее значение, тем больше опрокидывающий момент. Плечо опрокидывающей силы зависит от точки приложения силы и ее направления. Чем ближе к оси вращения будет проходить линия действия опрокидывающей силы, тем меньше будет ее плечо. Если линия действия опрокидывающей силы проходит через ось вращения, опрокидывающий момент будет равен нулю, так как плечо опрокидывающей силы равно нулю.

Для оценки степени устойчивости равновесия тела, опирающегося на плоскость (то есть имеющего определенную площадь опоры), используются два показателя:

• коэффициент устойчивости;
• угол устойчивости.

Коэффициент устойчивости

Коэффициент устойчивости служит показателем статической устойчивости тела – то есть способности тела сопротивляться нарушению равновесия. Если к телу приложена сила (F_опр), которая стремится опрокинуть тело, повернув его относительно оси вращения (рис. 4), то коэффициент устойчивости вычисляется следующим образом:

K_уст= M_уст/ М_опр                          (3),

где: M_уст — момент устойчивости относительно оси вращения; М_опр – опрокидывающий момент относительно оси вращения.

Следует заметить, что момент устойчивости  (момент силы тяжести) и опрокидывающий момент представляют собой моменты силы относительно оси вращения. Для того, чтобы тело сохраняло равновесное состояние при воздействии на него внешней опрокидывающей силы (F_опр) необходимо, чтобы момент устойчивости (M_уст) был больше  опрокидывающего момента (М_опр) или равен ему. Другими словами, для сохранения положения устойчивого равновесия тела, коэффициент устойчивости должен быть больше или равен единице:

K_уст = M_уст/ М _опр ≥ 1            (4).

Пример

Определить коэффициент устойчивости, если к нему приложена опрокидывающая сила F_опр = 1000Н; плечо опрокидывающей силы равно h_опр =1,5 м. Масса тела m=200 кг. Плечо силы тяжести равно h_тяж = 0,5 м (рис.4).

Решение

1. Определяем момент устойчивости относительно оси вращения:

M_уст=F_тяж*h_тяж=mg_*h_тяж=200_*9,8_*0,5=980 Нм.

2. Определяем опрокидывающий момент относительно оси вращения:

M_опр=F_опр*h_опр=1000_*1,5=1500 Нм.

3. Определяем коэффициент устойчивости.

K_уст= M_уст/ М _опр= 980/1500=0,653

Так как коэффициент устойчивости меньше единицы, тело опрокинется.

Угол устойчивости

Вторым показателем устойчивости равновесия тела является угол устойчивости. Этот показатель характеризует динамическую устойчивость тела, то есть способность тела восстанавливать равновесие.

Углом устойчивости (угол a или угол b) называется угол, образованный двумя лучами, один из которых проводится из ЦМ тела вертикально вниз, (рис. 6), а другой — к граничной точке опоры.

Другими словами, угол устойчивости равен углу поворота тела, чтобы перевести его из устойчивого положения в неустойчивое. Таким образом, угол устойчивости характеризует степень устойчивости тела в определенном направлении.

Сумма двух углов устойчивости в одной плоскости называется углом равновесия. Обозначим его С. То есть С = a + b. Этот угол характеризует запас устойчивости в определенной плоскости, то есть определяет диапазон перемещения ЦМ тела до опрокидывания  в одном и другом направлении (Кичайкина Н.Б., Самсонова А.В., 2018).

Угол равновесия C (как и углы усточивости a и b) тем больше, чем ниже расположен ЦМ тела и чем больше основание тела. Например, если сделать более тяжелым основание тела, его ЦМ понизится, а угол равновесия увеличится. Для опрокидывания тела в этом случае потребуется повернуть его на больший угол. Следует заметить, что для определения углов устойчивости и равновесия необходимо вначале определить положение ЦМ тела и граничные точки опоры.

Ограниченно-устойчивое равновесие

Следует отметить что в реальной жизни мы встречаемся не только с малыми отклонениями, но и большими. Равновесие тела будет устойчивым, если  ЦМ тела будет находиться над площадью опоры или проекция ЦМ тела будет находиться внутри контура опоры. Как только проекция ЦМ тела выйдет за площадь или контур опоры, равновесие тела нарушается, и тело опрокидывается. В области физической культуры и спорта в этом случае говорят об ограниченно-устойчивом равновесии тела.  Этот вид равновесия отличается тем, что тело может вернуться в начальное положение при отклонении от него до некоторого предела, например, определяемого границей площади опоры. В этом случае равновесие устойчиво. Если же отклонение переходит этот предел, равновесие тела становится неустойчивым (Донской Д.Д., 1979; Попов Г.И., Самсонова А.В., 2011; Кичайкина Н.Б., Самсонова А.В., 2018; Тураев В.Т., Тюпа В.В., 2022).

Литература

1. Донской Д.Д. Сохранение и изменение положения тела. глава VIII. В кн.: Биомеханика. учебник для вузов физ-культ. М.: Физкультура и спорт, 1979.- С. 154-172.
2. Кичайкина Н.Б., Самсонова А.В. Биомеханика двигательных действий: учеб. пособие. — НГУ им. П.Ф.Лесгата, 2018.- 210 с.
3. Попов Г.И., Самсонова А.В. Биомеханика двигательной деятельности.- М.: Издательский центр «Академия», 2011.- 320 с.
4. Тураев В.Т., Тюпа В.В. Биомеханика для спринтеров.- М.: ТВТ Дивизион, 2022.- 418 с.

С уважением, А.В.Самсонова