Стандартная ошибка среднего арифметического

Стандартная ошибка среднего арифметического (теория и практика)

Среднее арифметическое, вычисленное на основе данных, полученных на основе выборки (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее арифметическое (чтобы рассчитать генеральное среднее арифметическое нужно измерить все объекты генеральной совокупности, а их достаточно много).

Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет принимать различные значения.

Проиллюстрируем это следующим примером.

Имеются 50 результатов, показанных юношами 15-16 лет в беге на 100 м (таблица 1). Будем условно считать  эти результаты генеральной совокупностью. Среднее арифметическое для этой совокупности равно 15, 382 с

Таблица 1 Результаты в беге, показанные юношами 15-16 лет в беге на 100 м (n=50)

Теперь сформируем пять пять выборок по 10 результатов (результаты первой строки составляют первую выборку, второй — вторую и т.д), то есть объем каждой выборки будет равен  n=10 и сосчитаем среднее арифметическое каждой выборки.

Получаем следующие результаты:

Среднее арифметическое первой выборки равно m₁ = 15, 32 с

Среднее арифметическое второй выборки равно m₂ = 15, 57 с

Среднее арифметическое третьей выборки равно m₃ = 15, 63 с

Среднее арифметическое четвертой выборки равно m₄ = 15, 29 с

Среднее арифметическое пятой выборки равно m₅ = 15, 1 с

Как видим, полученные выборочные средние арифметические действительно не совпадают с средним арифметическим, рассчитанным на совокупности, состоящим из 50 результатов. Одни из них меньше генерального среднего (первая, четвертая и пятая выборки), а другие — больше (вторая и третья выборки).  И это не ошибки измерений, а статистические ошибки, связанные с отбором результатов спортсменов в каждую выборку. Поэтому эти ошибки называют ошибками репрезентативности. Теперь дадим определение стандартной ошибки среднего арифметического.

Определение

Стандартная ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если вместо генерального среднего арифметического рассчитывать среднее арифметическое выборки.

Вычисление стандартной ошибки среднего арифметического

Стандартная ошибка среднего арифметического, обозначается буквой m или 

В англоязычной научной литературе стандартная ошибка среднего арифметического  обозначается SE (Standard Error).

Стандартная ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:

где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки;

Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, а  объем выборки составляет n=36, то стандартная ошибка среднего арифметического равна:

m=5/6 = 0,833.

Из формулы следует, что чем больше объем выборки и чем меньше значение стандартного отклонения, тем меньше значение стандартной ошибки среднего арифметического. И наоборот, если объем выборки небольшой, а вариативность выборки большая, то значение стандартной ошибки среднего арифметического будет большим.

Буланов Н.М. с соавт. (2021) считают, что очень большие значения стандартной ошибки среднего арифметического могут свидетельствовать о наличии смещения, что мешает сделать корректные выводы.

Литература

1. Буланов Н.М., Суворов А.Ю., Блюсс О.Б., Мунблит Д.Б., Бутнару Д.В., Надинская М.Ю., Заикин А.А. Основные принципы применения описательной статистики в медицинских исследованиях // Сеченовский
   вестник. 2021; 12(3): 4–16. https://doi.org/10.47093/2218-7332.2021.12.3.4-16
2. Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
3. Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
4. Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
5. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.
6. Самсонова, А.В. Математическая статистика в спортивных исследованиях: учебное пособие / А.В. Самсонова, И.Э. Барникова: НГУ им.П.Ф.Лесгафта, Санкт-Петербург.- СПб [б.и.], 2022.- 122 c.

С уважением, А.В. Самсонова