Представление данных корреляционного анализа в научных исследованиях
Традиционно данные корреляционного анализа представляются в виде корреляционной матрицы, табл.1.
Корреляционная матрица (матрица корреляций) – это квадратная таблица, заголовками строк и столбцов которой являются обрабатываемые переменные, а на пересечении строк и столбцов выводятся коэффициенты корреляции для соответствующей пары признаков.
Например, в табл. 1 для пары переменных x1x2, коэффициент корреляции равен 0,8516 (он выделен красным цветом, а переменные — жирным шрифтом).
Корреляционная матрица обладает следующими свойствами:
- На главной диагонали находятся коэффициенты корреляции, равные единице.
- Матрица симметрична относительно главной диагонали.
Таблица 1 — Корреляционная матрица
| x1 | x2 | x3 | x4 | |
| x1 | 1 | 0,8516 | 0,4410 | 0,7923 |
| x2 | 0,8516 | 1 | 0,4428 | 0,6581 |
| x3 | 0,4410 | 0,4428 | 1 | 0,2820 |
| x4 | 0,7923 | 0,6581 | 0,2820 | 1 |
После выполнения расчетов в пакете STATGRAPHICS корреляционная матрица выглядит следующим образом (рис.1), на главной диагонали цифра «1» не стоит. Однако в пакете STATGRAPHICS выводится дополнительная информация:
На пересечении пары переменных в ячейке матрицы записываются три значения:
- Верхнее значение: коэффициент корреляции (r);
- Среднее (в скобках) – объем выборки (n)
- Нижнее – значение p-value (это позволяет сразу определить достоверность вычисленного коэффициента корреляции).
По значению p-value можно сразу определить достоверность вычисленного коэффициента корреляции. Правило такое: если p-value <0,05, то коэффициент корреляции достоверен.
В корреляционной матрице, представленной на рис. 1 достоверны все коэффициента корреляции, кроме коэффициента корреляции, равного 0,2820 (для пары x3x4), потому что p-value равно 0,2914. Это число больше 0,05. Поэтому коэффициент корреляции недостоверен.
Для представления данных корреляционного анализа используется несколько способов.
Первый способ
Значимость коэффициентов корреляции определяется на основе приведенного в заголовке таблицы критического значения коэффициента корреляции (rкрит) при определенном уровне значимости α. Также в заголовке таблицы приведен объем выборки (n). Для читающего таблицу с таким представлением информации ясно, что все коэффициенты корреляции, значения которых больше критического являются значимыми. Так корреляционная матрица представлена в книге Ан. Шалманова и Я. Ланки «Биомеханика толкания ядра».
Таблица 2 — Корреляционная матрица результатов в толкании ядра и скоростно-силовых тестах (n = 32, rкрит= 0,349, α = 0,05)
| № | Упражнение | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | Толкание ядра с разгона | 1 | 0,97 | 0,84 | 0,83 | 0,73 | 0,73 |
| 2 | Толкание ядра с места | 1 | 0,84 | 0,82 | 0,74 | 0,76 | |
| 3 | Бросок ядра назад | 1 | 0,85 | 0,71 | 0,66 | ||
| 4 | Бросок ядра вперед | 1 | 0,66 | 0,62 | |||
| 5 | Приседание со штангой | 1 | 0,58 | ||||
| 6 | Жим штанги лежа | 1 |
Второй способ
Второй способ представления информации характеризуется тем, что в корреляционной матрице оставляются только значимые коэффициенты корреляции. Если коэффициенты корреляции недостоверны, в ячейке ставится прочерк (табл.3). В примечании внизу таблицы указывается, что прочерк означает недостоверность коэффициента корреляции.
Таблица 3 — Корреляционная матрица результатов мальчиков-пловцов 13 лет, (n= 13)
| № | Тест | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Темп, гр/мин | 1 | — | — | — | — |
| 2 | Время проплывания 25 м, с | 1 | 0,911 | 0,679 | 0,859 | |
| 3 | Время проплывания 50 м, с | 1 | 0,861 | 0,969 | ||
| 4 | Время проплывания 100 м, с | 1 | 0,865 | |||
| 5 | Время проплывания 200 м, с | 1 |
Примечание: «-» — коэффициент корреляции недостоверен, р >0,05
Третий способ
Третий способ представления данных корреляционного анализа наиболее распространен как в Российских научных публикациях, так и в зарубежных. В заголовке таблицы указывается, что это корреляционная матрица, указывается также объем выборки (n).
Значимость коэффициента корреляции обозначается знаком звездочка (*), который ставится над коэффициентом корреляции в правом верхнем углу ячейки.
Правило следующее: одна звездочка (*) ставится при p<0,05; две звездочки (**) ставятся, при p<0,01; три звездочки (***) ставятся при р<0,001. Если у значения коэффициента корреляции нет знака звездочки (*) — это означает, что он недостоверен. В табл.4. показан вариант представления данных третьим способом. Необходимо в примечании под таблицей указать, что означают эти звездочки.
Таблица 4 — Корреляционная матрица результатов мальчиков-пловцов 13 лет, (n= 13)
| № | Тест | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Темп, гр/мин | 1 | 0,135 | 0,167 | 0,371 | 0,105 |
| 2 | Время проплывания 25 м, с | 1 | 0,911*** | 0,679* | 0,859*** | |
| 3 | Время проплывания 50 м, с | 1 | 0,861*** | 0,969*** | ||
| 4 | Время проплывания 100 м, с | 1 | 0,865*** | |||
| 5 | Время проплывания 200 м, с | 1 |
Примечание: * – коэффициент корреляции достоверен, р<0,05; *** – коэффициент корреляции достоверен, р<0,001.
Иногда в исследованиях представление результатов корреляционного анализа выглядит следующим образом (рис. 2)
В этом случае авторы разместили коэффициенты корреляции слева-внизу, опустили нули в записи коэффициентов корреляции и не проставили цифру 1 на главной диагонали. Однако внизу под таблицей указали, что означают звездочки. Все это допускается при записи корреляционной матрицы.
Литература
- Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.